فيعالمالرياضيات،تُعتبرالأعدادالمركبة(ComplexNumbers)منالمفاهيمالأساسيةالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالأعدادالتخيلية.تُستخدمهذهالأعدادفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية،مثلمعالجةالإشاراتوالفيزياءالكميةوحتىفيالرسومياتالحاسوبية.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعها.الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
ماهيالأعدادالمركبة؟
الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزأين:
1.جزءحقيقي(RealPart)
2.جزءتخيلي(ImaginaryPart)
ويمكنتمثيلهابالصيغةالعامة:
[
z=a+bi
]
حيث:
-(a)هوالجزءالحقيقي.
-(b)هوالجزءالتخيلي.
-(i)هوالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنها(i=\sqrt{ -1}).
العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:
عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
[
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
]
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
الضرب:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعمعتذكرأن(i^2=-1).
[
(a+bi)\times(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
]القسمة:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(Conjugate)لإزالةالجزءالتخيليمنالمقام.
[
\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}
]
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي(يُسمىمستوىالأعدادالمركبةأومستوىغاوس)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.
كمايمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:
[
z=r(\cos\theta+i\sin\theta)
]
حيث(r)هوالمقدار(Modulus)و(\theta)هوالزاوية(Argument).
تطبيقاتالأعدادالمركبة
- الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلدوائرالتيارالمتردد.
- الفيزياء:تساعدفيحلمعادلاتميكانيكاالكم.
- معالجةالصور:تُستخدمفيتحويلاتفورييهلتحليلالإشارات.
الخلاصة
الأعدادالمركبةليستمجردمفهومنظري،بللهاتطبيقاتعمليةواسعة.بفهمأساسياتها،يمكنناحلمسائلمعقدةفيالرياضياتوالعلومالمختلفة.إذاكنتمهتمًابالرياضياتالمتقدمة،فإنإتقانالأعدادالمركبةسيفتحلكآفاقًاجديدةفيالتعلموالتطبيق.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
